用两个案例来揭示博弈论和纳什均衡

约翰•纳什因博弈论的重要概念“纳什均衡”著称于世,事实上他在几何学上的成就数倍于前者,但世人皆因博弈论而认识到这位有着悲情曲折人生经历的传奇科学家。科学家是人类文明的掌灯者,悼念科学家最好的方式就是重温其生前的理论和公式,尽管这于常人而言过于复杂,但任何知识都是由浅及深,我们不妨复习一下简单而又经典的功课。

博弈的思想纵横古今无时不闪耀在人类智慧的长河中。无论是在田忌赛马、孙子兵法的古籍里,还是穿越阿尔卑斯的汉尼拔的身影之下,拿破仑坐镇奥斯特里茨的帷幄之中,我们都能窥以探之博弈的精妙。事实上,博弈论作为一套初步的科学理论体系在20世纪40年代才粉墨登场,其在计算机科学、经济学等领域有着广泛应用,从华尔街的分析师到硅谷的职业经理人,都或多或少地知道并运用着这一古老而又年轻的知识。

我们尝试通过两个经典例子来帮助初学者揭开博弈论以及纳什均衡的神秘面纱:

一、普通范式博弈

GOO公司和SAM公司是某手机产品生态的两大重量级参与者,双方在产业链的不同位置上各司其职且关系暧昧,有时也往往因商业利益和产品影响力的争夺而各怀异心。二者的收益也随着博弈的变化而不断更替。

两个经典例子,揭开博弈论以及纳什均衡的神秘面纱

上图表格模拟了两家公司的博弈现状,双方各有两个可选策略“合作”与“背叛”,格中的四组数据表示四个博弈结局的分数(收益),每组数据的第一个数字表示GOO公司的收益,后一个数字表示SAM公司的收益。

博弈是同时进行的,一方参与者必须站在对方的角度上来思考我方的策略选择,以追求收益最大化。这在博弈论里称作Putting yourselves into other people's shoes。

现在我们以GOO公司为第一人称视角来思考应对SAM公司的博弈策略。假如SAM公司选择合作,那么我方也选择合作带来的收益是3,而我方选择背叛带来的收益是5,基于理性的收益最大化考虑,我方应该选择背叛,这叫严格优势策略;假如SAM公司选择背叛,那么我方选择合作带来的收益是-3,而选择背叛带来的收益为-1,为使损失降到最低,我方应该选择背叛。最后,GOO公司的分析结果是,无论SAM公司选择合作还是背叛策略,我方都必须选择背叛策略才能获得最大化的收益。

同理,当SAM公司也以严格优势策略来应对GOO公司的策略选择时,我们重复上述分析过程,就能得出结论:无论GOO公司选择合作还是背叛策略,SAM公司都必须选择背叛策略才能获得最大化收益。

最后我们发现,本次博弈的双方都采取了背叛策略,各自的收益都为-1,这是一个比较糟糕的结局,尽管对任何一方来说都不是最糟糕的那种。这种局面就是著名的“囚徒困境”。

但是,博弈的次数往往不止一次,就像COO与SAM公司双方的商业往来也许会有很多机会。当二者经历了多次背叛策略的博弈之后,发现公式上还有一个(3,3)收益的双赢局面,这比(-1,-1)的收益结果显然要好很多,因此二者在之后的博弈过程中必然会尝试互建信任,从而驱使双方都选择合作策略。

这里有一个理想化假设,那就是假设双方都知道博弈次数是无限的话,也就是说双方的商业往来是无止尽的,那么二者的策略都将持续选择合作,最终的博弈收益将定格在(3,3),这就是一个纳什均衡。既然博弈次数是无限的,那么任何一方都没有理由选择背叛策略去冒险追求5点短暂收益,而招致对方在下一轮博弈中的报复(这种报复在博弈论里称作“以牙还牙”策略)。

还有另一种假设情况是,假使双方都知道博弈次数是有限的,也许下一次博弈就是最后一次,那么为了避免对方在最后一轮博弈中选择背叛策略而使我方遭受-3的收益损失,于是双方都重新采取了背叛的策略选择,最后的博弈结果又回到了(-1,-1),这就形成了第二个纳什均衡。

由此可见,随着次数(博弈性质)的变化,纳什均衡点也并非唯一,这在下一个例子中有着更明显的表现。

二、饿狮博弈

题设为A、B、C、D、E、F六只狮子(强弱从左到右依次排序)和一只绵羊。假设狮子A吃掉绵羊后就会打盹午睡,这时比A稍弱的狮子B就会趁机吃掉狮子A,接着B也会午睡,然后狮子C就会吃掉狮子B,以此类推。那么问题来了,狮子A敢不敢吃绵羊?

两个经典例子,揭开博弈论以及纳什均衡的神秘面纱

为简化说明,我们先给出此题的解法。该题须采用逆向分析法,也就是从最弱的狮子F开始分析,依次前推。假设狮子E睡着了,狮子F敢不敢吃掉狮子E?答案是肯定的,因为在狮子F的后面已没有其它狮子,所以狮子F可以放心地吃掉午睡中的狮子E。

继续前推,既然狮子E睡着会被狮子F吃掉,那么狮子E必然不敢吃在他前面睡着的狮子D。

再往前推,既然狮子E不敢吃掉狮子D,那么D则可以放心去吃午睡中的狮子C。依次前推,得出C不吃,B吃,A不吃。所以答案是狮子A不敢吃掉绵羊。

细心的人也许会发现,假如增加或减少狮子的总数,博弈的结果会完全不同。我们用下图来验证:

两个经典例子,揭开博弈论以及纳什均衡的神秘面纱

我们在狮子F的后面增加了一只狮子G,总数变成7只。用逆向分析法按照上题步骤再推一次,很容易得出结论:狮子G吃,狮子F不吃,E吃,D不吃,C吃,B不吃,A吃。这次的答案变成了狮子A敢吃掉绵羊。

对比两次博弈我们发现,狮子A敢不敢吃绵羊取决于狮子总数的奇偶性,总数为奇数时,A敢吃掉绵羊;总数为偶数时,A则不敢吃。因此,总数为奇数和总数为偶数的狮群博弈结果形成了两个稳定的纳什均衡点。

通过上述两个案例的多轮博弈,初学者应该能够隐约发现纳什均衡的轮廓。当博弈次数不止一次地进行着时,博弈结果将重复定格在某个状态,那个状态即是纳什均衡点。公理解释是如果博弈在某情况下无任一参与者可以通过独自行动而增加收益,则此时的策略组合被称为纳什均衡。

简单的博弈案例看上去似乎有趣,但博弈论始终是一门深奥复杂的学问,它的复杂之处就在于博弈分析所用的理想化模型与现实永远存在差异。比如博弈论要求各方参与者必须是经济学意义上的“理性人”,而事实上完全的“理性人”并不存在。现实世界存在着太多超出博弈论的变数,这为追求精确预测的博弈模型构建工作带来难度。

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