运筹学发展概况 (二)

锥规划

锥规划是线性空间中凸锥上的数学规划,它是线性规划与非线性规划的推广。自上世纪90 年代中期开始,它一直是国际优化领域的研究热点。相关的研究带动了数学规划学科的深入发展,促进了代数、群论、拓扑学、几何学、非线性分析等分支在数学规划中的融合,以及优化理论与技术在工程、交通、经济与金融、管理等领域的广泛应用。

目前的锥规划方面的研究成果主要包括以下4 个方面:

1二阶锥优化和半定优化

线性二阶锥优化和半定优化已经得到了很好的发展,并且广泛地应用于各种实际问题。近些年,人们开始致力于非线性二阶锥优化和非线性半定优化的理论与算法研究;

2对称锥优化

上世纪末国际优化专家开始致力于这一领域的研究,主要集中在求解对称锥上线性优化问题的内点算法方面。近几年,人们开始探讨对称锥上的非线性优化问题和非凸优化问题的理论与各种算法;

3齐次锥优化

齐次锥的理论早在1963 年就有相关研究,但齐次锥优化问题的研究最近才开始;

4双曲锥优化

这方面目前只有很少的理论研究,需要寻求合适的工具开展其理论与算法的研究。

矩阵规划

在众多的科学领域与社会经济中,很多优化问题的决策变量是一个具有特殊结构的矩阵,这样的优化问题被称为矩阵优化或者矩阵规划。矩阵规划的早期研究可以追溯到1981 年,然而真正的研究是在20 世纪90 年代,它以被誉为21 世纪的线性规划-半定规划为研究起点。至今,线性半定规划的理论趋于完善,人们正在发掘它在实际中的应用。然而,目前的数值软件只能有效地求解矩阵维数小于500 的小规模线性半定规划问题,因此,开展大规模半定规划的数值方法研究是当前一项十分迫切而又重要的课题。

此外,由著名华裔数学家陶哲轩等人在2006 年提出的压缩传感理论而引发的低秩矩阵问题,其理论与算法研究是当今优化领域与信息科学领域(例如,信号处理、图像恢复与重建)共同关心的热点研究课题。

在未来一段时期里,矩阵(锥)优化理论与算法、张量(锥)优化理论与算法、多项式优化理论与算法研究等方向必将引起人们的关注。
变分不等式与互补问题

变分不等式与互补问题是一类具有普遍意义的均衡优化模型。它不仅为非线性优化、极大极小、对策论、非线性方程、微分方程等提供了一个统一的理论框架,而且在力学工程、交通、经济、管理等实际部门有广泛的应用。

互补问题首先由丹齐格和科特尔于1963 年提出。次年,科特尔在他的博士论文中第一次提出求解它的非线性规划算法。变分不等式问题首先由哈特曼和斯塔姆巴切在1966 年提出。后来发现,变分不等式是互补问题的一个推广,且其数学性质和应用有惊人的相似之处。所以,它们经常在文献中成对出现。变分不等式与互补问题被提出后,很快引起了当时运筹学界和应用数学界的广泛关注和浓厚兴趣,许多人参与了这类问题的研究。经过40 余年的探索,特别是20 世纪最后10 年的研究,人们在理论与算法方面取得了丰富、系统的成果, 并在科技与经济中得到了广泛的应用。

当前主要是对于广义变分不等式和锥互补问题的研究,而对于不确定信息下变分不等式和互补问题的研究无疑是发展的必然。归纳起来,对它们的研究可分为理论与算法两方面:

前者主要研究解的存在性、唯一性、稳定性与灵敏度分析以及它们与其他数学问题的联系等;

后者则主要建立有效的求解方法及相应的理论和数值分析。

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